大阪教育大学
2015年 理系 第3問
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![a,bは0＜a＜bを満たす定数とし，関数y=logxのグラフをGとする．点Cが曲線G上を点A(a,loga)から点B(b,logb)まで動くとき，点Cからx軸への垂線と線分ABとの交点をPとし，線分CPの長さの最大値をLとする．このとき，以下の問に答えよ．ただし，logxは自然対数を表すものとする．(1)不等式a＜\frac{b-a}{logb-loga}＜bが成り立つことを証明せよ．(2)h=b/aとおくとき，Lをhを用いて表せ．(3)実数p,q,rがa＜p＜b，a＜q＜b，a＜r＜bを満たすとき，不等式\frac{p+q+r}{3}＜e^L\sqrt[3]{pqr}が成り立つことを証明せよ．ただし，eは自然対数の底とする．](./thumb/505/2612/2015_3.png)
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$a,\ b$は$0<a<b$を満たす定数とし，関数$y=\log x$のグラフを$G$とする．点$\mathrm{C}$が曲線$G$上を点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$から点$\mathrm{B}(b,\ \log b)$まで動くとき，点$\mathrm{C}$から$x$軸への垂線と線分$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{CP}$の長さの最大値を$L$とする．このとき，以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は自然対数を表すものとする．
(1) 不等式$\displaystyle a<\frac{b-a}{\log b-\log a}<b$が成り立つことを証明せよ．
(2) $\displaystyle h=\frac{b}{a}$とおくとき，$L$を$h$を用いて表せ．
(3) 実数$p,\ q,\ r$が$a<p<b$，$a<q<b$，$a<r<b$を満たすとき，不等式 \[ \frac{p+q+r}{3}<e^L \sqrt[3]{pqr} \] が成り立つことを証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1) 不等式$\displaystyle a<\frac{b-a}{\log b-\log a}<b$が成り立つことを証明せよ．
(2) $\displaystyle h=\frac{b}{a}$とおくとき，$L$を$h$を用いて表せ．
(3) 実数$p,\ q,\ r$が$a<p<b$，$a<q<b$，$a<r<b$を満たすとき，不等式 \[ \frac{p+q+r}{3}<e^L \sqrt[3]{pqr} \] が成り立つことを証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
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