大阪教育大学
2015年 理系 第1問
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以下の問に答えよ．
(1) 実数$x,\ y$が$x+y=1$を満たすとき，不等式 \[ x^2+y^2 \geqq \frac{1}{2} \] が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2) 実数$x,\ y,\ z$が$x+y+z=1$を満たすとき，不等式 \[ x^2+y^2+z^2 \geqq \frac{1}{3} \] が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(3) $n$は自然数とする．実数$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$が$x_1+x_2+\cdots +x_n=1$を満たすとき，不等式 \[ {x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_n}^2 \geqq \frac{1}{n} \] が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(1) 実数$x,\ y$が$x+y=1$を満たすとき，不等式 \[ x^2+y^2 \geqq \frac{1}{2} \] が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2) 実数$x,\ y,\ z$が$x+y+z=1$を満たすとき，不等式 \[ x^2+y^2+z^2 \geqq \frac{1}{3} \] が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(3) $n$は自然数とする．実数$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$が$x_1+x_2+\cdots +x_n=1$を満たすとき，不等式 \[ {x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_n}^2 \geqq \frac{1}{n} \] が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
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