次の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle t=\tan \frac{x}{2}$とおくとき，次の等式が成り立つことを示せ． \[ \tokeiichi \ \ \sin x=\frac{2t}{1+t^2} \quad \tokeini \ \ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \quad \tokeisan \ \ \tan x=\frac{2t}{1-t^2} \]
(2) $a,\ b$を実数とする．$x$を未知数とする方程式$a \sin x+b \cos x+1=0$が，$-\pi<x<\pi$の範囲に相異なる二つの解をもつとする．
(ⅰ) $a,\ b$の満たすべき条件を求めよ．
(ⅱ) 二つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \tan \frac{\alpha+\beta}{2}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3) 次の定積分を求めよ． \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x+\cos x+1} \, dx \]