愛媛大学
2013年 理学部・工学部 第2問
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次の問いに答えよ.
(1) $i$を虚数単位とする.等式$(1+i)^{14}=a+bi$を満たす実数$a,\ b$の値を求めよ.
(2) $x$の多項式$x^4-px+q$が$(x-1)^2$で割り切れるとき,定数$p,\ q$の値を求めよ.
(3) $\theta$が方程式$\displaystyle \cos 2\theta-2 \sin \theta=\frac{47}{50}$を満たすとき,$\sin \theta$の値を求めよ.
(4) 次の極限値を求めよ. \[ \lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{x^2+x+4}-\sqrt{x^2+4}) \sin 2x}{x^2} \]
(5) 空間内に$5$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$があり,次の等式を満たしている. \[ \overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} \] $\overrightarrow{\mathrm{EB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を用いて表せ.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルである.
(1) $i$を虚数単位とする.等式$(1+i)^{14}=a+bi$を満たす実数$a,\ b$の値を求めよ.
(2) $x$の多項式$x^4-px+q$が$(x-1)^2$で割り切れるとき,定数$p,\ q$の値を求めよ.
(3) $\theta$が方程式$\displaystyle \cos 2\theta-2 \sin \theta=\frac{47}{50}$を満たすとき,$\sin \theta$の値を求めよ.
(4) 次の極限値を求めよ. \[ \lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{x^2+x+4}-\sqrt{x^2+4}) \sin 2x}{x^2} \]
(5) 空間内に$5$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$があり,次の等式を満たしている. \[ \overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} \] $\overrightarrow{\mathrm{EB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を用いて表せ.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルである.
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