関数$f(x)=\cos x-x \sin x,\ g_n(x)=(x+n \pi)\sin x-\cos x \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，次の問いに答えよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$を満たすすべての$x$について$\tan x>x$が成り立つことを用いてよい．
(1) すべての自然数$n$，実数$x$に対して$g_n(x)=(-1)^{n+1}f(x+n \pi)$が成り立つことを示せ．
(2) 自然数$n$に対して，方程式$g_n(x)=0$は$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲においてただ$1$つの解をもつことを示せ．
(3) (2)におけるただ$1$つの解を$x_n$とする．$x_n$は$\displaystyle 0<x_n<\frac{1}{n\pi}$を満たすことを示せ．
(4) $y_n=n\pi+x_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．定積分 \[ S_n=\int_{y_n}^{y_{n+1}}|f(x)| \, dx \] を，$n,\ x_n$および$x_{n+1}$を用いて表せ．
(5) 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{n}$を求めよ．