東京農工大学
2016年 理系 第2問
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$n$を自然数とし,$a,\ b,\ r$は実数で$b>0$,$r>0$とする.複素数$w=a+bi$は$w^2=-2 \overline{w}$を満たすとする.$\alpha_n=r^{n+1} w^{2-3n} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.ただし,$i$は虚数単位とし,複素数$z$に共役な複素数を$\overline{z}$で表す.次の問いに答えよ.
(1) $a$と$b$の値を求めよ.
(2) 複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)$,$\mathrm{A}(\alpha_1)$,$\mathrm{B}(\overline{\alpha_1})$について,$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする.ただし,$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする.$\theta$の値を求めよ.
(3) $\alpha_n$の実部を$c_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.$c_n$を$n$と$r$を用いて表せ.
(4) $(3)$で求めた$c_n$を第$n$項とする数列$\{c_n\}$について,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n$が収束し,その和が$\displaystyle \frac{8}{3}$となるような$r$の値を求めよ.
(1) $a$と$b$の値を求めよ.
(2) 複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)$,$\mathrm{A}(\alpha_1)$,$\mathrm{B}(\overline{\alpha_1})$について,$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする.ただし,$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする.$\theta$の値を求めよ.
(3) $\alpha_n$の実部を$c_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.$c_n$を$n$と$r$を用いて表せ.
(4) $(3)$で求めた$c_n$を第$n$項とする数列$\{c_n\}$について,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n$が収束し,その和が$\displaystyle \frac{8}{3}$となるような$r$の値を求めよ.
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