東京医科歯科大学
2010年 理系 第2問
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![座標空間において,8点O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D(0,1,1),E(1,0,1),F(1,1,0),G(1,1,1)をとり,この8点を頂点とする立方体をQとする.また点P(x,y,z)と正の実数tに対し,6点(x+t,y,z),(x-t,y,z),(x,y+t,z),(x,y-t,z),(x,y,z+t),(x,y,z-t)を頂点とする正八面体をα_t(P),その外部の領域をβ_t(P)で表す.ただし,立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする.このとき以下の問いに答えよ.(1)0<t≦1のとき,Qとα_t(O)の共通部分Q∩α_t(O)の体積をtで表せ.(2)Q∩β_1(O)∩β_1(D)∩β_1(E)∩β_1(F)の体積を求めよ.(3)1/2<t≦1のとき,Q∩α_t(O)∩α_t(A)の体積をtで表せ.(4)tが0<t≦1の範囲で変化するとき,Q∩α_t(O)∩β_t(A)∩β_t(B)∩β_t(C)の体積が最大となるtの値を求めよ.](./thumb/180/1909/2010_2.png)
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座標空間において,$8$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{D}(0,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{E}(1,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{F}(1,\ 1,\ 0)$,$\mathrm{G}(1,\ 1,\ 1)$をとり,この$8$点を頂点とする立方体を$Q$とする.また点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$と正の実数$t$に対し,$6$点$(x+t,\ y,\ z)$,$(x-t,\ y,\ z)$,$(x,\ y+t,\ z)$,$(x,\ y-t,\ z)$,$(x,\ y,\ z+t)$,$(x,\ y,\ z-t)$を頂点とする正八面体を$\alpha_t(\mathrm{P})$,その外部の領域を$\beta_t(\mathrm{P})$で表す.ただし,立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする.このとき以下の問いに答えよ.
(1) $0 < t \leqq 1$のとき,$Q$と$\alpha_t(\mathrm{O})$の共通部分$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O})$の体積を$t$で表せ.
(2) $Q \cap \beta_1(\mathrm{O}) \cap \beta_1(\mathrm{D}) \cap \beta_1(\mathrm{E}) \cap \beta_1(\mathrm{F})$の体積を求めよ.
(3) $\displaystyle \frac{1}{2} < t \leqq 1$のとき,$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O}) \cap \alpha_t(\mathrm{A})$の体積を$t$で表せ.
(4) $t$が$0<t \leqq 1$の範囲で変化するとき,$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O}) \cap \beta_t(\mathrm{A}) \cap \beta_t(\mathrm{B}) \cap \beta_t(\mathrm{C})$の体積が最大となる$t$の値を求めよ.
(1) $0 < t \leqq 1$のとき,$Q$と$\alpha_t(\mathrm{O})$の共通部分$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O})$の体積を$t$で表せ.
(2) $Q \cap \beta_1(\mathrm{O}) \cap \beta_1(\mathrm{D}) \cap \beta_1(\mathrm{E}) \cap \beta_1(\mathrm{F})$の体積を求めよ.
(3) $\displaystyle \frac{1}{2} < t \leqq 1$のとき,$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O}) \cap \alpha_t(\mathrm{A})$の体積を$t$で表せ.
(4) $t$が$0<t \leqq 1$の範囲で変化するとき,$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O}) \cap \beta_t(\mathrm{A}) \cap \beta_t(\mathrm{B}) \cap \beta_t(\mathrm{C})$の体積が最大となる$t$の値を求めよ.
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