法政大学
2012年 未設定 第2問
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$f(x)=x^2-5$として,数列$\{a_n\}$を次のように定義する.\\
\quad $a_1=3$,点$(a_n,\ f(a_n))$における曲線$y=f(x)$の接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_{n+1}$とする$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$。\\
\quad 次の問いに答えよ.
(1) $a_{n+1}$を$a_n$で表せ.
(2) 命題$P(n)$を$\lceil \sqrt{5} < a_{n+1} < a_n \rfloor$とするとき,すべての正の整数$n$に対して$P(n)$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ.
(3) 次の不等式が共に成り立つ1より小さい正の数$r$が存在することを示せ.
(4) $a_{n+1}-\sqrt{5} \leqq r(a_n-\sqrt{5}) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(5) $a_n -\sqrt{5} \leqq r^{n-1} \quad (n= 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(1) $a_{n+1}$を$a_n$で表せ.
(2) 命題$P(n)$を$\lceil \sqrt{5} < a_{n+1} < a_n \rfloor$とするとき,すべての正の整数$n$に対して$P(n)$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ.
(3) 次の不等式が共に成り立つ1より小さい正の数$r$が存在することを示せ.
(4) $a_{n+1}-\sqrt{5} \leqq r(a_n-\sqrt{5}) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(5) $a_n -\sqrt{5} \leqq r^{n-1} \quad (n= 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
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