中央大学
2015年 理工(一般) 第1問
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次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び,その記号をマークせよ.ただし,同じ記号を$2$度以上用いてもよい.
関数$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x} \ \ (x>0)$を考える.まず, \[ \lim_{x \to +0} f(x)=\fbox{ア} \] である.ところで, \[ \int_0^x t \sin t \, dt=\fbox{イ} \] であり,$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$のとき \[ \int_0^x t \sin t \, dt \;\fbox{ウ}\; x^2 \sin x \] が成り立つので,$\displaystyle \lim_{x \to +0} \frac{\fbox{イ}}{x^2}=\fbox{エ}$である.これにより$\displaystyle \lim_{x \to +0} f^\prime(x)=\fbox{オ}$がわかる.
さて,自然数$n$に対し,$\displaystyle a_n=\int_{2n \pi}^{(2n+1)\pi}f(x) \, dx$,$\displaystyle b_n=\int_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi}f(x) \, dx$とおく.このとき,$a_n$は不等式$\fbox{カ}$を満たす.$a_n+b_n$は不等式$\fbox{キ}$を満たす.
関数$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x} \ \ (x>0)$を考える.まず, \[ \lim_{x \to +0} f(x)=\fbox{ア} \] である.ところで, \[ \int_0^x t \sin t \, dt=\fbox{イ} \] であり,$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$のとき \[ \int_0^x t \sin t \, dt \;\fbox{ウ}\; x^2 \sin x \] が成り立つので,$\displaystyle \lim_{x \to +0} \frac{\fbox{イ}}{x^2}=\fbox{エ}$である.これにより$\displaystyle \lim_{x \to +0} f^\prime(x)=\fbox{オ}$がわかる.
さて,自然数$n$に対し,$\displaystyle a_n=\int_{2n \pi}^{(2n+1)\pi}f(x) \, dx$,$\displaystyle b_n=\int_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi}f(x) \, dx$とおく.このとき,$a_n$は不等式$\fbox{カ}$を満たす.$a_n+b_n$は不等式$\fbox{キ}$を満たす.
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