中央大学
2012年 理工(一般) 第3問
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座標平面において,原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$C_0$とし,点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を中心とする半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C_1$とする.以下の問いに答えよ.
(1) 円$C_0$と内接し,円$C_1$と外接する円$D$の半径を$r$,中心$\mathrm{G}$の座標を$(\alpha,\ \beta)$とするとき,$r$を$\alpha$によって表せ.
(2) 中心$\mathrm{G}(\alpha,\ \beta)$の軌跡の方程式を求めよ.
以上で考察した円$D$は無数にあるが,これらの円はどれも点$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{3},\ 0)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{2}{3}$の円$C_2$と特別な位置関係にある.以下ではこのことを調べてみよう.円$D$と円$C_2$の$2$つの交点を$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(3) 直線$\mathrm{PQ}$の方程式を$\alpha,\ \beta$により表せ.
(4) 点$\mathrm{P}$の座標$(X,\ Y)$が直線$\mathrm{PQ}$の方程式と円$C_2$の方程式を満たしていることを利用して,$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GP}}=0$を示せ.
(1) 円$C_0$と内接し,円$C_1$と外接する円$D$の半径を$r$,中心$\mathrm{G}$の座標を$(\alpha,\ \beta)$とするとき,$r$を$\alpha$によって表せ.
(2) 中心$\mathrm{G}(\alpha,\ \beta)$の軌跡の方程式を求めよ.
以上で考察した円$D$は無数にあるが,これらの円はどれも点$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{3},\ 0)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{2}{3}$の円$C_2$と特別な位置関係にある.以下ではこのことを調べてみよう.円$D$と円$C_2$の$2$つの交点を$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(3) 直線$\mathrm{PQ}$の方程式を$\alpha,\ \beta$により表せ.
(4) 点$\mathrm{P}$の座標$(X,\ Y)$が直線$\mathrm{PQ}$の方程式と円$C_2$の方程式を満たしていることを利用して,$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GP}}=0$を示せ.
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