大阪市立大学
2013年 理系 第4問
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$\mathrm{OA}=4$,$\mathrm{OB}=5$である三角形$\mathrm{OAB}$に対し,$k=\mathrm{AB}$,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく.次の問いに答えよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を$k$を用いて表せ.
(2) $\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{P}$,$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と辺$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$k$,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3) 三角形$\mathrm{OAB}$の内心を$\mathrm{I}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$k$,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(4) (3)の$\mathrm{I}$と直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{H}$に対して,$\mathrm{IH} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとき,$\overrightarrow{\mathrm{IH}}$を$k$,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を$k$を用いて表せ.
(2) $\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{P}$,$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と辺$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$k$,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3) 三角形$\mathrm{OAB}$の内心を$\mathrm{I}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$k$,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(4) (3)の$\mathrm{I}$と直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{H}$に対して,$\mathrm{IH} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとき,$\overrightarrow{\mathrm{IH}}$を$k$,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
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