大阪府立大学
2012年 工学域（中期） 第4問
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$a$を正の定数とする．実数の変数$x$の関数$f(x)=(x+a)e^{2x^2}$について，以下の問いに答えよ．
(1) 一階導関数$f^\prime(x)$はある多項式$g(x)$により$f^\prime(x)=g(x)e^{2x^2}$と表され，二階導関数$f^{\prime\prime}(x)$はある多項式$h(x)$により$f^{\prime\prime}(x)=h(x)e^{2x^2}$と表される．$g(x),\ h(x)$を求めよ．
(2) 関数$f(x)$が極大値と極小値をもつための$a$の値の範囲を求めよ．
(3) $a$が(2)で求めた範囲にあるとする．関数$f(x)$が極大値をとる$x$の値を$\alpha$とし，極小値をとる$x$の値を$\beta$とする．このとき，$f^{\prime\prime}(\gamma)=0$となる$\gamma$が$\alpha$と$\beta$の間に存在することを示せ．
(1) 一階導関数$f^\prime(x)$はある多項式$g(x)$により$f^\prime(x)=g(x)e^{2x^2}$と表され，二階導関数$f^{\prime\prime}(x)$はある多項式$h(x)$により$f^{\prime\prime}(x)=h(x)e^{2x^2}$と表される．$g(x),\ h(x)$を求めよ．
(2) 関数$f(x)$が極大値と極小値をもつための$a$の値の範囲を求めよ．
(3) $a$が(2)で求めた範囲にあるとする．関数$f(x)$が極大値をとる$x$の値を$\alpha$とし，極小値をとる$x$の値を$\beta$とする．このとき，$f^{\prime\prime}(\gamma)=0$となる$\gamma$が$\alpha$と$\beta$の間に存在することを示せ．
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