平面上に4点O，A，B，Cがあり，点Oを始点とするそれぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とし， \[ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{2},\ \ |\overrightarrow{\mathrm{b}}|=\sqrt{10},\ \ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2,\ \ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=8,\ \ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=20 \] が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2) 点Cから直線ABに下ろした垂線と直線ABの交点をHとする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$を求めよ．
(3) 実数$s,\ t$に対して，点Pを \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \] で定める．$s,\ t$が条件 \[ (s+t-1)(s+3t-3) \leqq 0 \] を満たしながら変化するとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|$の最小値を求めよ．