$a>0$，$b>0$とし，座標平面において，双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$を曲線$C$とする．曲線$C$の漸近線のうち傾きが正の漸近線を$\ell$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$における曲線$C$の接線を$m$とする．ただし，$p>0$，$q>0$とする．また，漸近線$\ell$と接線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) 漸近線$\ell$の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2) 接線$m$の方程式を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(3) 三角形$\mathrm{OQR}$の面積$S(p)$を$p$を用いて表せ．
(4) 極限値$\displaystyle \lim_{p \to \infty} S(p)$を求めよ．