大阪府立大学
2016年 文系 第3問
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以下の問いに答えよ．
(1) 次の等式が成り立つことを示せ． \[ \cos (\alpha+\beta) \sin \alpha-\cos \alpha \sin (\alpha-\beta)=\cos 2\alpha \sin \beta \]
(2) $k,\ n$を自然数とし，$\theta$は$\sin \theta \neq 0$を満たすとする．$(1)$の等式で$\alpha=k \theta$，$\beta=\theta$とおくことにより次の等式が成り立つことを示せ． \[ \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta=\frac{\cos (n+1) \theta \sin n \theta}{\sin \theta} \]
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{100} \cos^2 \frac{k \pi}{100}$の値を求めよ．
(1) 次の等式が成り立つことを示せ． \[ \cos (\alpha+\beta) \sin \alpha-\cos \alpha \sin (\alpha-\beta)=\cos 2\alpha \sin \beta \]
(2) $k,\ n$を自然数とし，$\theta$は$\sin \theta \neq 0$を満たすとする．$(1)$の等式で$\alpha=k \theta$，$\beta=\theta$とおくことにより次の等式が成り立つことを示せ． \[ \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta=\frac{\cos (n+1) \theta \sin n \theta}{\sin \theta} \]
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{100} \cos^2 \frac{k \pi}{100}$の値を求めよ．
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