実数全体を定義域とする関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ \[ f(x)=e^x,\quad g(x)=\frac{e^{x+1}+e^{-x-1}}{2} \] で定める．曲線$y=f(x)$上の点$(t,\ e^t)$における法線に関して，直線$x=t$を対称移動した直線を$\ell$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) $\ell$の方程式を求めよ．
(2) $\ell$は曲線$y=g(x)$に接することを示し，その接点の$x$座標を求めよ．
(3) $(2)$で求めた接点を$\mathrm{P}$とする．$\ell$と曲線$y=f(x)$，および$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S(t)$とする．$t$が実数全体を動くとき，$S(t)$の最小値を求めよ．