$a,\ b$は実数の定数で$|a|<|b|$をみたすとする．行列$A$を \[ A=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc} a+2b & -2a+2b \\ -a+b & 2a+b \end{array} \right) \] によって定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1) $x_0 \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)+y_0 \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 13 \end{array} \right)$をみたす$x_0,\ y_0$を求めよ．
(2) $A \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right),\ A \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)$を求めよ．
(3) $n$を自然数とする．$x_n \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)+y_n \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c} 2 \\ 13 \end{array} \right)$をみたす$x_n,\ y_n$を$a,\ b,\ n$を用いて表せ．
(4) 数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$を$\left( \begin{array}{c} p_n \\ q_n \end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c} 2 \\ 13 \end{array} \right)$によって定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ．