大分大学
2014年 工学部 第2問
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![原点Oを中心とする半径2√2の球面S上に3点A,B,Cがあり,ベクトルOA・ベクトルOB=4,ベクトルOB・ベクトルOC=5,ベクトルOC・ベクトルOA=6をみたしている.三角形ABCの重心をGとし,直線OGと球面Sの交点のうちGから遠い方をPとする.(1)|ベクトルOA|,|ベクトルOG|の値を求めなさい.(2)ベクトルOPをベクトルOA,ベクトルOB,ベクトルOCを用いて表しなさい.(3)ベクトルOAとベクトルOPのなす角を求めなさい.](./thumb/730/3013/2014_2.png)
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原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2 \sqrt{2}$の球面$S$上に$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$があり,
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている.三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし,直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする.
(1) $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$,$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい.
(1) $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$,$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい.
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