中央大学
2012年 理工(一般) 第1問
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次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び,その記号をマークせよ.ただし,同じ記号を$2$度以上用いてもよい.
$a,\ b,\ r,\ k$は$a>b>0$,$r>0$,$k>0$を満たす定数とする.
座標平面の相異なる$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が円$X^2+Y^2=r^2$の上を動くとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$の最大値は次のようにして求められる.まず,$2$点$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を固定して点$\mathrm{A}$を動かすとき,その三角形の高さに注意すれば,面積が最大となるのは,$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であるような二等辺三角形のときである.したがって,この円に内接する二等辺三角形のうちで面積が最大のものを見つければよい.そこで,$\mathrm{A}(0,\ r)$,$\mathrm{B}(-r \cos \theta,\ r \sin \theta)$,$\mathrm{C}(r \cos \theta,\ r \sin \theta)$ \ \ $\displaystyle \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とすれば$S_1$の最大値は$\sin \theta=\fbox{ア}$のとき$S_1=\fbox{イ} r^2$であることがわかる.
点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$y$座標を$k$倍した点を$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$とおく.相異なる$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の座標を$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$,$\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$,$\mathrm{C}(x_3,\ y_3)$としたとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$は内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて計算すると$\fbox{ウ}$と表される.したがって,点$\mathrm{A}^\prime(x_1,\ ky_1)$,$\mathrm{B}^\prime(x_2,\ ky_2)$,$\mathrm{C}^\prime(x_3,\ ky_3)$のなす三角形の面積を$S_2$とおくと,$S_2$は$S$の$\fbox{エ}$倍である.
点$\mathrm{P}(x,\ y)$は楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$の上を動く点とする.$\displaystyle k=\frac{a}{b}$であるとき,点$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$は原点を中心とする半径$\fbox{オ}$の円上を動く.したがって,相異なる$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が楕円$E$上を動くとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値は$a,\ b$を用いて$\fbox{カ}$と表される.
\begin{itemize}
ア,イの解答群 \[ \begin{array}{lllll} \marua \ \ -\displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marub \ \ -\displaystyle\frac{1}{3} \phantom{AAA} & \maruc \ \ \displaystyle\frac{1}{3} & \marud \ \ \displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marue \ \ \displaystyle\frac{16}{9} \\ \\ \maruf \ \ -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \marug \ \ -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} & \maruh \ \ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} & \marui \ \ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \maruj \ \ \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \\ \\ \maruk \ \ \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} & \marul \ \ \displaystyle\frac{2+\sqrt{3}}{4} & \marum \ \ \displaystyle\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{3} & & \end{array} \]
ウの解答群
[$\marua$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$ [$\marub$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$ [$\maruc$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$ [$\marud$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$ [$\marue$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$ [$\maruf$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$ [$\marug$] $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\}$ [$\maruh$] $\displaystyle\frac{1}{2} \biggl[ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\} \biggr]$
エの解答群 \[ \marua \ \ \frac{1}{k^3} \quad \marub \ \ \frac{1}{k^2} \quad \maruc \ \ \frac{1}{k} \quad \marud \ \ \frac{2}{k} \quad \marue \ \ \frac{k}{2} \quad \maruf \ \ k \quad \marug \ \ k^2 \quad \maruh \ \ k^3 \]
オの解答群 \[ \begin{array}{lllll} \marua \ \ \displaystyle\frac{a}{2} \phantom{AAA} & \marub \ \ \displaystyle\frac{a^2}{4} \phantom{AAA} & \maruc \ \ a \phantom{AAA} & \marud \ \ a^2 \phantom{AAA} & \marue \ \ ab \\ \maruf \ \ \displaystyle\frac{b}{2} & \marug \ \ \displaystyle\frac{b^2}{4} & \maruh \ \ b & \marui \ \ b^2 & \maruj \ \ (ab)^2 \phantom{\frac{{\fbox{}}^2}{2}} \end{array} \]
カの解答群 \[ \begin{array}{lllll} \marua \ \ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}ab \phantom{AA} & \marub \ \ \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} ab \phantom{AA} & \maruc \ \ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} ab \phantom{AA} & \marud \ \ \displaystyle\frac{16}{9}ab \phantom{AA} & \marue \ \ \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} ab \\ \\ \maruf \ \ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{a^3}{b} & \marug \ \ \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} \frac{a^3}{b} & \maruh \ \ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b} & \marui \ \ \displaystyle\frac{16}{9} \frac{a^3}{b} & \maruj \ \ \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b} \end{array} \] \end{itemize}
$a,\ b,\ r,\ k$は$a>b>0$,$r>0$,$k>0$を満たす定数とする.
座標平面の相異なる$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が円$X^2+Y^2=r^2$の上を動くとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$の最大値は次のようにして求められる.まず,$2$点$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を固定して点$\mathrm{A}$を動かすとき,その三角形の高さに注意すれば,面積が最大となるのは,$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であるような二等辺三角形のときである.したがって,この円に内接する二等辺三角形のうちで面積が最大のものを見つければよい.そこで,$\mathrm{A}(0,\ r)$,$\mathrm{B}(-r \cos \theta,\ r \sin \theta)$,$\mathrm{C}(r \cos \theta,\ r \sin \theta)$ \ \ $\displaystyle \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とすれば$S_1$の最大値は$\sin \theta=\fbox{ア}$のとき$S_1=\fbox{イ} r^2$であることがわかる.
点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$y$座標を$k$倍した点を$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$とおく.相異なる$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の座標を$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$,$\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$,$\mathrm{C}(x_3,\ y_3)$としたとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$は内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて計算すると$\fbox{ウ}$と表される.したがって,点$\mathrm{A}^\prime(x_1,\ ky_1)$,$\mathrm{B}^\prime(x_2,\ ky_2)$,$\mathrm{C}^\prime(x_3,\ ky_3)$のなす三角形の面積を$S_2$とおくと,$S_2$は$S$の$\fbox{エ}$倍である.
点$\mathrm{P}(x,\ y)$は楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$の上を動く点とする.$\displaystyle k=\frac{a}{b}$であるとき,点$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$は原点を中心とする半径$\fbox{オ}$の円上を動く.したがって,相異なる$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が楕円$E$上を動くとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値は$a,\ b$を用いて$\fbox{カ}$と表される.
\begin{itemize}
ア,イの解答群 \[ \begin{array}{lllll} \marua \ \ -\displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marub \ \ -\displaystyle\frac{1}{3} \phantom{AAA} & \maruc \ \ \displaystyle\frac{1}{3} & \marud \ \ \displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marue \ \ \displaystyle\frac{16}{9} \\ \\ \maruf \ \ -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \marug \ \ -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} & \maruh \ \ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} & \marui \ \ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \maruj \ \ \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \\ \\ \maruk \ \ \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} & \marul \ \ \displaystyle\frac{2+\sqrt{3}}{4} & \marum \ \ \displaystyle\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{3} & & \end{array} \]
ウの解答群
[$\marua$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$ [$\marub$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$ [$\maruc$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$ [$\marud$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$ [$\marue$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$ [$\maruf$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$ [$\marug$] $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\}$ [$\maruh$] $\displaystyle\frac{1}{2} \biggl[ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\} \biggr]$
エの解答群 \[ \marua \ \ \frac{1}{k^3} \quad \marub \ \ \frac{1}{k^2} \quad \maruc \ \ \frac{1}{k} \quad \marud \ \ \frac{2}{k} \quad \marue \ \ \frac{k}{2} \quad \maruf \ \ k \quad \marug \ \ k^2 \quad \maruh \ \ k^3 \]
オの解答群 \[ \begin{array}{lllll} \marua \ \ \displaystyle\frac{a}{2} \phantom{AAA} & \marub \ \ \displaystyle\frac{a^2}{4} \phantom{AAA} & \maruc \ \ a \phantom{AAA} & \marud \ \ a^2 \phantom{AAA} & \marue \ \ ab \\ \maruf \ \ \displaystyle\frac{b}{2} & \marug \ \ \displaystyle\frac{b^2}{4} & \maruh \ \ b & \marui \ \ b^2 & \maruj \ \ (ab)^2 \phantom{\frac{{\fbox{}}^2}{2}} \end{array} \]
カの解答群 \[ \begin{array}{lllll} \marua \ \ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}ab \phantom{AA} & \marub \ \ \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} ab \phantom{AA} & \maruc \ \ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} ab \phantom{AA} & \marud \ \ \displaystyle\frac{16}{9}ab \phantom{AA} & \marue \ \ \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} ab \\ \\ \maruf \ \ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{a^3}{b} & \marug \ \ \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} \frac{a^3}{b} & \maruh \ \ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b} & \marui \ \ \displaystyle\frac{16}{9} \frac{a^3}{b} & \maruj \ \ \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b} \end{array} \] \end{itemize}
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