防衛医科大学校
2015年 医学部 第2問
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スイッチを押すと,$0$から$n$までの整数が$1$つ表示される機械がある.表示される数字を$X$とすると,$X=k$となる確率$P(X=k)=C \alpha^k \ \ (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$である.ただし,$C$は定数,$0<\alpha<1$である.
(1) $P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ($k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$).
(2) $P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ($k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$).
(3) 確率$p$で$1$点もらえ,確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える($0<p<1$).この試行を独立に$m$回行ったとき,$l$点($0 \leqq l \leqq m$)もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す.このとき,$m,\ l$を一定とし,$p$を変数とみなして以下の問に答えよ.
(ⅰ) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか.$p$を横軸,$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け.ただし,$\log$は自然対数である.
(ⅱ) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ.
(4) $\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする.このとき,$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ.
(1) $P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ($k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$).
(2) $P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ($k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$).
(3) 確率$p$で$1$点もらえ,確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える($0<p<1$).この試行を独立に$m$回行ったとき,$l$点($0 \leqq l \leqq m$)もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す.このとき,$m,\ l$を一定とし,$p$を変数とみなして以下の問に答えよ.
(ⅰ) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか.$p$を横軸,$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け.ただし,$\log$は自然対数である.
(ⅱ) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ.
(4) $\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする.このとき,$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ.
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