京都産業大学
2015年 理系 第2問
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座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(a,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ b)$がある.ここで,$a,\ b$は正の整数である.
$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の格子点の個数を$f(a,\ b)$と表す.ここで,格子点とは,$x$座標,$y$座標がともに整数である点のことである.また,三角形の内部は,その三角形の頂点,辺を含まないものとする.
(1) $a=4,\ b=4$のとき,$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の格子点は$3$個であり,それらの座標は$\fbox{}$である.したがって,$f(4,\ 4)=3$である.
(2) $f(4,\ 8)=\fbox{}$である.
(3) $2$以上の整数$n$に対し,$f(n,\ n)$を$n$の式で表すと$\fbox{}$である.
(4) $2$以上の整数$n$に対し,$f(n,\ 2n)$を$n$の式で表すと$\fbox{}$である.
(5) $n$を$2$以上の整数,$k$を$3$以上の整数とする.$f(n,\ kn)$を$n$と$k$の式で表すと$\fbox{}$である.
$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の格子点の個数を$f(a,\ b)$と表す.ここで,格子点とは,$x$座標,$y$座標がともに整数である点のことである.また,三角形の内部は,その三角形の頂点,辺を含まないものとする.
(1) $a=4,\ b=4$のとき,$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の格子点は$3$個であり,それらの座標は$\fbox{}$である.したがって,$f(4,\ 4)=3$である.
(2) $f(4,\ 8)=\fbox{}$である.
(3) $2$以上の整数$n$に対し,$f(n,\ n)$を$n$の式で表すと$\fbox{}$である.
(4) $2$以上の整数$n$に対し,$f(n,\ 2n)$を$n$の式で表すと$\fbox{}$である.
(5) $n$を$2$以上の整数,$k$を$3$以上の整数とする.$f(n,\ kn)$を$n$と$k$の式で表すと$\fbox{}$である.
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