福島大学
2013年 理工 第2問
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直角三角形$\mathrm{ABC}$があり,$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{2}$,$\angle \mathrm{B}=\theta$,$\mathrm{BC}=a$である.頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AP}_1$を下ろし,点$\mathrm{P}_1$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1$を下ろす.同様に,点$\mathrm{Q}_1$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$を下ろし,点$\mathrm{P}_2$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{P}_2 \mathrm{Q}$を下ろす.この操作を繰り返し,辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$を,辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$,$\mathrm{Q}_3$をそれぞれ定める.また,$\mathrm{AP}_1$と$\mathrm{CQ}_1$の交点を$\mathrm{R}_1$,$\mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$と$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_2$の交点を$\mathrm{R}_2$,$\mathrm{Q}_2 \mathrm{P}_3$と$\mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_3$の交点を$\mathrm{R}_3$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{AP}_1$,$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1$の長さを求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{CR}}_1$を$\overrightarrow{\mathrm{CP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$を用いて表せ.
(3) $\triangle \mathrm{R}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{C}$の面積$S_1$を求めよ.
(4) $\triangle \mathrm{R}_3 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2$の面積$S_3$を求めよ.
(1) $\mathrm{AP}_1$,$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1$の長さを求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{CR}}_1$を$\overrightarrow{\mathrm{CP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$を用いて表せ.
(3) $\triangle \mathrm{R}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{C}$の面積$S_1$を求めよ.
(4) $\triangle \mathrm{R}_3 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2$の面積$S_3$を求めよ.
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