福島大学
2014年 人文B 第5問
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$a,\ b$を正の定数とし,関数$y=f(x)$,$y=g(x)$を次のように定める.
$f(x)=2 \sqrt{x-a} \quad (x \geqq a)$
$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{4}+b \quad (x \geqq 0)$
$y=f(x)$のグラフを$C_1$,$y=g(x)$のグラフを$C_2$とし,$C_1$と$C_2$は$1$点$\mathrm{P}$において接している.すなわち,点$\mathrm{P}$は$C_1$,$C_2$上にあり,点$\mathrm{P}$におけるそれぞれの接線は一致する.
(1) 関数$y=f(x)$の導関数を求めなさい.
(2) 点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき,$a$および$b$を$t$を用いて表しなさい.
(3) $t$の値の範囲を求めなさい.
(4) $C_1$,$C_2$,$x$軸,$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$t$を用いて表しなさい.
(5) $S$の最大値と,そのときの$t$の値を求めなさい.
$f(x)=2 \sqrt{x-a} \quad (x \geqq a)$
$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{4}+b \quad (x \geqq 0)$
$y=f(x)$のグラフを$C_1$,$y=g(x)$のグラフを$C_2$とし,$C_1$と$C_2$は$1$点$\mathrm{P}$において接している.すなわち,点$\mathrm{P}$は$C_1$,$C_2$上にあり,点$\mathrm{P}$におけるそれぞれの接線は一致する.
(1) 関数$y=f(x)$の導関数を求めなさい.
(2) 点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき,$a$および$b$を$t$を用いて表しなさい.
(3) $t$の値の範囲を求めなさい.
(4) $C_1$,$C_2$,$x$軸,$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$t$を用いて表しなさい.
(5) $S$の最大値と,そのときの$t$の値を求めなさい.
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