福島大学
2016年 理工 第4問
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$\displaystyle F(x)=\int_0^x e^{-pt} \sin t \, dt$($p$は正の定数)とする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1) 関数$F(x)$を微分しなさい.
(2) 関数$y=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$($A,\ B,\ C$は定数)を微分しなさい.
(3) $F(x)=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$($A,\ B,\ C$は定数)と表すことができる.このとき,$A,\ B,\ C$の値を求めなさい.
ただし,$F(0)$,$F^\prime(0)$,$\displaystyle F^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を用いてよい.
(4) $T_n=|F(n\pi)-F((n-1)\pi)| \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.このとき,$T_1,\ T_2$の値を求めなさい.
(5) $(4)$の$T_n$に対して$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$を求めなさい.
(1) 関数$F(x)$を微分しなさい.
(2) 関数$y=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$($A,\ B,\ C$は定数)を微分しなさい.
(3) $F(x)=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$($A,\ B,\ C$は定数)と表すことができる.このとき,$A,\ B,\ C$の値を求めなさい.
ただし,$F(0)$,$F^\prime(0)$,$\displaystyle F^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を用いてよい.
(4) $T_n=|F(n\pi)-F((n-1)\pi)| \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.このとき,$T_1,\ T_2$の値を求めなさい.
(5) $(4)$の$T_n$に対して$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$を求めなさい.
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