滋賀県立大学
2011年 環境科学部・工学部 第4問
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![次の問いに答えよ.(1)nを2以上の自然数とするとき,不等式∫_1^nlogxdx<log1+log2+・・・+lognが成り立つことを示せ.(2)aを正の実数とするとき,上の不等式を用いて\lim_{n→∞}\frac{a^n}{n!}=0を示せ.(3)\lim_{n→∞}\frac{(2+\frac{n}{n+1})^n}{n!}を求めよ.](./thumb/466/2727/2011_4.png)
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次の問いに答えよ.
(1) $n$を2以上の自然数とするとき,不等式$\displaystyle \int_1^n \log x \, dx< \log 1+\log 2+\cdots +\log n$が成り立つことを示せ.
(2) $a$を正の実数とするとき,上の不等式を用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a^n}{n!}=0$を示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\left( 2+\displaystyle\frac{n}{n+1} \right)^n}{n!}$を求めよ.
(1) $n$を2以上の自然数とするとき,不等式$\displaystyle \int_1^n \log x \, dx< \log 1+\log 2+\cdots +\log n$が成り立つことを示せ.
(2) $a$を正の実数とするとき,上の不等式を用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a^n}{n!}=0$を示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\left( 2+\displaystyle\frac{n}{n+1} \right)^n}{n!}$を求めよ.
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