大阪府立大学
2010年 工学域（中期） 第4問
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次の問いに答えよ．
(1) $a$を正の定数とするとき，関数 \[ f(x)=\log (x+\sqrt{a+x^2}) \] の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2) $t=\sqrt{3}\tan \theta$とおくことにより，定積分 \[ I=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \] を求めよ．
(3) $0 \leqq x \leqq 1$であるすべての$x$に対して，不等式 \[ \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \geqq k \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}} \] が成り立つための実数$k$の範囲を求めよ．ただし，$\log 3=1.10$とする．
(1) $a$を正の定数とするとき，関数 \[ f(x)=\log (x+\sqrt{a+x^2}) \] の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2) $t=\sqrt{3}\tan \theta$とおくことにより，定積分 \[ I=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \] を求めよ．
(3) $0 \leqq x \leqq 1$であるすべての$x$に対して，不等式 \[ \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} \geqq k \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}} \] が成り立つための実数$k$の範囲を求めよ．ただし，$\log 3=1.10$とする．
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