大阪府立大学
2011年 理系 第2問
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$f(x)=e^{-x}\cos x$とする．
(1) $e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x$を微分せよ．
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$を求めよ．
(3) 自然数$n$に対して， \[ S_n=\frac{1}{n}\left\{ f \left( \frac{\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{2\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{3\pi}{2n} \right)+\cdots + f \left( \frac{n\pi}{2n} \right) \right\} \] とおく．次の式が成り立つことを示せ． \[ S_n<\frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx < S_n + \frac{1}{n} \]
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
(1) $e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x$を微分せよ．
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$を求めよ．
(3) 自然数$n$に対して， \[ S_n=\frac{1}{n}\left\{ f \left( \frac{\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{2\pi}{2n} \right)+f \left( \frac{3\pi}{2n} \right)+\cdots + f \left( \frac{n\pi}{2n} \right) \right\} \] とおく．次の式が成り立つことを示せ． \[ S_n<\frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx < S_n + \frac{1}{n} \]
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
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