東北大学
2016年 理系 第5問
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空間内に,直線$\ell$で交わる$2$平面$\alpha,\ \beta$と交線$\ell$上の$1$点$\mathrm{O}$がある.さらに,平面$\alpha$上の直線$m$と平面$\beta$上の直線$n$を,どちらも点$\mathrm{O}$を通り$\ell$に垂直にとる.$m,\ n$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$があり,
\[ \mathrm{OP}=\sqrt{3},\quad \mathrm{OQ}=2,\quad \mathrm{PQ}=1 \]
であるとする.線分$\mathrm{PQ}$上の動点$\mathrm{T}$について,$\mathrm{PT}=t$とおく.点$\mathrm{T}$を中心とした半径$\sqrt{2}$の球$S$を考える.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) $S$の平面$\alpha$による切り口の面積を$t$を用いて表せ.
(2) $S$の平面$\alpha$による切り口の面積と$S$の平面$\beta$による切り口の面積の和を$f(t)$とおく.$\mathrm{T}$が線分$\mathrm{PQ}$上を動くとき,$f(t)$の最大値と,そのときの$t$の値を求めよ.
(1) $S$の平面$\alpha$による切り口の面積を$t$を用いて表せ.
(2) $S$の平面$\alpha$による切り口の面積と$S$の平面$\beta$による切り口の面積の和を$f(t)$とおく.$\mathrm{T}$が線分$\mathrm{PQ}$上を動くとき,$f(t)$の最大値と,そのときの$t$の値を求めよ.
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