新潟大学
2013年 文系 第4問
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1次関数$f(x)=px+q$に対して,$x$の係数$p$と定数項$q$を成分にもつベクトル$(p,\ q)$を$\overrightarrow{f}$とする.つまり,$\overrightarrow{f}=(p,\ q)$とする.次の問いに答えよ.
(1) 定積分 \[ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (kx+l)(mx+n) \, dx \] を求めよ.ただし,$k,\ l,\ m,\ n$は定数である.
(2) 2つの1次関数$g(x)$と$h(x)$に対して,等式 \[ \frac{1}{2 \sqrt{3}} \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} g(x)h(x) \, dx=\overrightarrow{g} \cdot \overrightarrow{h} \] が成り立つことを示せ.ただし,$\overrightarrow{g} \cdot \overrightarrow{h}$はベクトル$\overrightarrow{g}$,$\overrightarrow{h}$の内積を表す.
(3) 等式 \[ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2x+1)^2 \, dx \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \{g(x)\}^2 \, dx=\left\{ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2x+1)g(x) \, dx \right\}^2 \] を満たし,$g(0)=-2$であるような1次関数$g(x)$を求めよ.
(1) 定積分 \[ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (kx+l)(mx+n) \, dx \] を求めよ.ただし,$k,\ l,\ m,\ n$は定数である.
(2) 2つの1次関数$g(x)$と$h(x)$に対して,等式 \[ \frac{1}{2 \sqrt{3}} \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} g(x)h(x) \, dx=\overrightarrow{g} \cdot \overrightarrow{h} \] が成り立つことを示せ.ただし,$\overrightarrow{g} \cdot \overrightarrow{h}$はベクトル$\overrightarrow{g}$,$\overrightarrow{h}$の内積を表す.
(3) 等式 \[ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2x+1)^2 \, dx \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \{g(x)\}^2 \, dx=\left\{ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2x+1)g(x) \, dx \right\}^2 \] を満たし,$g(0)=-2$であるような1次関数$g(x)$を求めよ.
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