三重大学
2016年 医学部 第4問
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![nを自然数とし,P_k(k/n,log(1+k/n))(k=0,1,・・・,n)を平面上のn+1個の点とする.ただし,logxはxの自然対数である.(1)k=1,2,・・・,nのとき,点P_{k-1}と点P_kとの距離P_{k-1}P_kに対して1/n\sqrt{1+\frac{1}{(1+k/n)^2}}<P_{k-1}P_k<1/n\sqrt{1+\frac{1}{(1+\frac{k-1}{n})^2}}を示せ.(2)L_n=Σ_{k=1}^nP_{k-1}P_kとしたとき\lim_{n→∞}L_nを求めよ.](./thumb/457/2645/2016_4.png)
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$n$を自然数とし,$\displaystyle \mathrm{P}_k \left( \frac{k}{n},\ \log \left( 1+\frac{k}{n} \right) \right) \ \ (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n)$を平面上の$n+1$個の点とする.ただし,$\log x$は$x$の自然対数である.
(1) $k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$のとき,点$\mathrm{P}_{k-1}$と点$\mathrm{P}_k$との距離$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k$に対して \[ \frac{1}{n} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\left( 1+\displaystyle\frac{k}{n} \right)^2}}<\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k<\frac{1}{n} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\left( 1+\displaystyle\frac{k-1}{n} \right)^2}} \] を示せ.
(2) $\displaystyle L_n=\sum_{k=1}^n \mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k$としたとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}L_n$を求めよ.
(1) $k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$のとき,点$\mathrm{P}_{k-1}$と点$\mathrm{P}_k$との距離$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k$に対して \[ \frac{1}{n} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\left( 1+\displaystyle\frac{k}{n} \right)^2}}<\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k<\frac{1}{n} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\left( 1+\displaystyle\frac{k-1}{n} \right)^2}} \] を示せ.
(2) $\displaystyle L_n=\sum_{k=1}^n \mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k$としたとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}L_n$を求めよ.
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