東北大学
2015年 理系 第5問
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$t>0$を実数とする.座標平面において,$3$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$,$\mathrm{B}(2,\ 0)$,$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{3}t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$を考える.
(1) 三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ.
(2) 三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ.
(3) 辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BP}$,$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とおく.$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき,三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$,$\mathrm{QR}$,$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と,そのときの$t$の値を求めよ.
(1) 三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ.
(2) 三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ.
(3) 辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BP}$,$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とおく.$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき,三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$,$\mathrm{QR}$,$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と,そのときの$t$の値を求めよ.
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