高知工科大学
2011年 理系 第4問
4
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行列$A=\biggl( \begin{array}{rr}
-1 & -4 \\
4 & 7
\end{array} \biggr),\ E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$に対して,$N=A-kE$とおく.ただし,$k$は実数の定数である.このとき,次の各問に答えよ.
(1) $N^2=O$となるように,$k$の値を定めよ.ただし,$O$は零行列である.
(2) $n$を正の整数として,$A^n$を求めよ.
(3) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が \[ a_1=b_1=1,\quad a_{n+1}=-a_n-4b_n,\quad b_{n+1}=4a_n+7b_n \] で与えられるとき,一般項$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(1) $N^2=O$となるように,$k$の値を定めよ.ただし,$O$は零行列である.
(2) $n$を正の整数として,$A^n$を求めよ.
(3) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が \[ a_1=b_1=1,\quad a_{n+1}=-a_n-4b_n,\quad b_{n+1}=4a_n+7b_n \] で与えられるとき,一般項$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
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