京都府立大学
2011年 生命環境(環境・情報) 第1問
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$t>0$とする.平面上に$\triangle \mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$がある.$\mathrm{P}$は$(2-t) \overrightarrow{\mathrm{PO}}+2(1-t) \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3t \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす.直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする.$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$,$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}$を$t$を用いて表せ.
(2) 線分$\mathrm{OC}$が$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線となるとき,$\mathrm{C}$は辺$\mathrm{AB}$を$a:b$に内分する点であることを示せ.
(3) $(2)$のとき,$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$,$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S_2$とする.$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$a,\ b$を用いて表せ.
(1) $\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}$を$t$を用いて表せ.
(2) 線分$\mathrm{OC}$が$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線となるとき,$\mathrm{C}$は辺$\mathrm{AB}$を$a:b$に内分する点であることを示せ.
(3) $(2)$のとき,$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$,$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S_2$とする.$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$a,\ b$を用いて表せ.
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