島根大学
2016年 総合理工(数理・情報システム) 第1問
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$n$を自然数とする.下図のように,$3$本の平行な道路$\ell_1$,$\ell_2$,$\ell_3$があり,$\ell_1,\ \ell_2$をつなぐ縦の道と,$\ell_2,\ \ell_3$をつなぐ縦の道がそれぞれ$n$本ずつ,交互に配置されているとする.
\imgc{610_2756_2016_1}
次の規則に従い図の$\mathrm{X}$から出発して$\mathrm{P}_n$,$\mathrm{Q}_n$,$\mathrm{R}_n$に到達する経路の個数をそれぞれ$a_n$,$b_n$,$c_n$とする.
\setlength{\leftskip}{12mm} [(規則)] $\ell_1$,$\ell_2$,$\ell_3$は一方通行であり,西方向には進むことができない.また,一度通った縦の道を再び通ることもできない.
次の問いに答えよ.
(1) $a_2,\ b_2$を求めよ.
(2) $a_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ.
(3) $b_n=c_n$が成り立つことを証明せよ.
(4) $a_1,\ b_1,\ a_2,\ b_2,\ \cdots,\ a_k,\ b_k,\ \cdots$と順に並べてできる数列を$\{f_n\} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.$f_{n+2}$を$f_n$,$f_{n+1}$を用いて表せ.また,それを用いて$a_7$を求めよ.
\setlength{\leftskip}{12mm} [(規則)] $\ell_1$,$\ell_2$,$\ell_3$は一方通行であり,西方向には進むことができない.また,一度通った縦の道を再び通ることもできない.
次の問いに答えよ.
(1) $a_2,\ b_2$を求めよ.
(2) $a_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ.
(3) $b_n=c_n$が成り立つことを証明せよ.
(4) $a_1,\ b_1,\ a_2,\ b_2,\ \cdots,\ a_k,\ b_k,\ \cdots$と順に並べてできる数列を$\{f_n\} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.$f_{n+2}$を$f_n$,$f_{n+1}$を用いて表せ.また,それを用いて$a_7$を求めよ.
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