名古屋市立大学
2013年 医学部 第4問
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原点を$\mathrm{O}$とする$xyz$空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OPQR}$がある.点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$を通り$z$軸に平行な$3$直線と$xy$平面との交点をそれぞれ$\mathrm{P}^\prime$,$\mathrm{Q}^\prime$,$\mathrm{R}^\prime$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $\triangle \mathrm{PQR}$,$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積をそれぞれ$S$,$S_1$とする.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の$3$点を通る平面と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき,$S_1=S |\cos \theta|$を示せ.
(2) $\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の周上を含む内部にあるとき,$z$軸と$\triangle \mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{A}$とする.このとき正四面体$\mathrm{OPQR}$の体積$V$は$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{OA} \cdot S_1$となることを示し,$S_1$の最小値を求めよ.
(3) $\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の外部にあり,線分$\mathrm{OP}^\prime$と線分$\mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が交点$\mathrm{B}$をもつとき,点$\mathrm{B}$を通り$z$軸に平行な直線と,直線$\mathrm{OP}$および直線$\mathrm{QR}$との交点をそれぞれ$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$とする.このとき四角形$\mathrm{OQ}^\prime \mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積を$S_2$とすると$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{CD} \cdot S_2$となることを示し,$S_2$の最大値を求めよ.
(1) $\triangle \mathrm{PQR}$,$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積をそれぞれ$S$,$S_1$とする.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の$3$点を通る平面と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき,$S_1=S |\cos \theta|$を示せ.
(2) $\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の周上を含む内部にあるとき,$z$軸と$\triangle \mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{A}$とする.このとき正四面体$\mathrm{OPQR}$の体積$V$は$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{OA} \cdot S_1$となることを示し,$S_1$の最小値を求めよ.
(3) $\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の外部にあり,線分$\mathrm{OP}^\prime$と線分$\mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が交点$\mathrm{B}$をもつとき,点$\mathrm{B}$を通り$z$軸に平行な直線と,直線$\mathrm{OP}$および直線$\mathrm{QR}$との交点をそれぞれ$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$とする.このとき四角形$\mathrm{OQ}^\prime \mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積を$S_2$とすると$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{CD} \cdot S_2$となることを示し,$S_2$の最大値を求めよ.
類題(関連度順)
コメント(3件)
2016-02-20 21:50:55
本当お願いします❢助けてください❢❢ |
2016-02-19 22:29:40
これだけはなるべく早い解答お願いしたいです!図がきれいに描けず本当に困ってます!20日までに解答いただけると大変ありがたいです! よろしくお願いします☆彡 |
2016-02-14 21:39:26
2013年度 名古屋市立大学 理系 4 ₍1₎から₍3₎の解答よろしくお願い申し上げます。どうやって図を書いたらよいか全くわかりません。 空間ベクトルを使ったら混乱しなくなるのでしょうか。。。 |
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