慶應義塾大学
2015年 薬学部 第2問
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![xy平面上に放物線P:y=1/4x^2と直線ℓ:y=1/2x+1/4(a^2-1)がある.ただし,aは0<a<\sqrt{33}を満たす実数である.Pとℓは異なる2点A,Bで交わり,A,Bのx座標をそれぞれx_A,x_Bとおくと,x_A<x_Bである.次に,線分ABを1辺とし,線分CDが(0,8)を通る長方形ABDCをおく.長方形ABDCの面積をS(a)とする.このとき,(1)2点C,Dを結ぶ直線の傾きは\frac{[40]}{[41]}であり,線分ABの長さをaを用いて表すと\sqrt{[42]}aである.(2)S(a)をaの式で表すとS(a)=\frac{[43][44]}{[45]}a^3+\frac{[46][47]}{[48]}aである.また,S(a)が最大値をとるとき,aの値は\sqrt{[49][50]}である.(3)放物線Pと直線ℓで囲まれた部分の面積が,S(a)の3倍であるとき,aの値は[51]\sqrt{[52]}である.](./thumb/202/97/2015_2.png)
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$xy$平面上に放物線$\displaystyle P:y=\frac{1}{4}x^2$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}(a^2-1)$がある.ただし,$a$は$0<a<\sqrt{33}$を満たす実数である.$P$と$\ell$は異なる$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$で交わり,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$x_A$,$x_B$とおくと,$x_A<x_B$である.
次に,線分$\mathrm{AB}$を$1$辺とし,線分$\mathrm{CD}$が$(0,\ 8)$を通る長方形$\mathrm{ABDC}$をおく.長方形$\mathrm{ABDC}$の面積を$S(a)$とする.このとき,
(1) $2$点$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$を結ぶ直線の傾きは$\displaystyle \frac{\fbox{$40$}}{\fbox{$41$}}$であり,線分$\mathrm{AB}$の長さを$a$を用いて表すと$\sqrt{\fbox{$42$}}a$である.
(2) $S(a)$を$a$の式で表すと \[ S(a)=\frac{\fbox{$43$}\fbox{$44$}}{\fbox{$45$}}a^3+\frac{\fbox{$46$}\fbox{$47$}}{\fbox{$48$}}a \] である.
また,$S(a)$が最大値をとるとき,$a$の値は$\sqrt{\fbox{$49$}\fbox{$50$}}$である.
(3) 放物線$P$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積が,$S(a)$の$3$倍であるとき,$a$の値は$\fbox{$51$} \sqrt{\fbox{$52$}}$である.
次に,線分$\mathrm{AB}$を$1$辺とし,線分$\mathrm{CD}$が$(0,\ 8)$を通る長方形$\mathrm{ABDC}$をおく.長方形$\mathrm{ABDC}$の面積を$S(a)$とする.このとき,
(1) $2$点$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$を結ぶ直線の傾きは$\displaystyle \frac{\fbox{$40$}}{\fbox{$41$}}$であり,線分$\mathrm{AB}$の長さを$a$を用いて表すと$\sqrt{\fbox{$42$}}a$である.
(2) $S(a)$を$a$の式で表すと \[ S(a)=\frac{\fbox{$43$}\fbox{$44$}}{\fbox{$45$}}a^3+\frac{\fbox{$46$}\fbox{$47$}}{\fbox{$48$}}a \] である.
また,$S(a)$が最大値をとるとき,$a$の値は$\sqrt{\fbox{$49$}\fbox{$50$}}$である.
(3) 放物線$P$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積が,$S(a)$の$3$倍であるとき,$a$の値は$\fbox{$51$} \sqrt{\fbox{$52$}}$である.
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