北海道大学
2010年 理系 第4問
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![0≦x≦1に対してf(x)=∫_0^1e^{-|t-x|}t(1-t)dtと定める.ただし,e=2.718・・・は自然対数の底である.(1)不定積分I_1=∫te^tdt,I_2=∫t^2e^tdtを求めよ.(2)f(x)をxの指数関数と多項式を用いて表せ.(3)f(x)はx=1/2で極大となることを示せ.](./thumb/5/941/2010_4.png)
4
$0 \leqq x \leqq 1$に対して
\[ f(x)=\int_0^1 e^{-|t-x|}t(1-t) \, dt \]
と定める.ただし,$e=2.718 \cdots$は自然対数の底である.
(1) 不定積分$\displaystyle I_1=\int te^t \, dt,\ I_2=\int t^2e^t \, dt$を求めよ.
(2) $f(x)$を$x$の指数関数と多項式を用いて表せ.
(3) $f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大となることを示せ.
(1) 不定積分$\displaystyle I_1=\int te^t \, dt,\ I_2=\int t^2e^t \, dt$を求めよ.
(2) $f(x)$を$x$の指数関数と多項式を用いて表せ.
(3) $f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大となることを示せ.
類題(関連度順)
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