右図のように平面上に正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．時刻$n$ \\ $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$において動点$\mathrm{P}$は正六角形の$6$つの頂点 \\ のいずれかにあり，時刻$1$では頂点$\mathrm{A}$にあるものとする． \\ 時刻$n+1$には，時刻$n$のときにあった頂点の隣り合う$2$つの \\ 頂点のいずれかに移動する．どちらの頂点に移動するかは \\ 同様に確からしいものとする．時刻$n$において，動点$\mathrm{P}$が頂点 \\ $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$にある確率をそれぞれ \\ $a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n,\ e_n,\ f_n$とする．以下の問いに答えよ． \img{678_3150_2010_1}{60}
(1) $a_2,\ b_2,\ c_2,\ d_2,\ e_2,\ f_2$を求めよ．
(2) $a_3,\ b_3,\ c_3,\ d_3,\ e_3,\ f_3$を求めよ．
(3) $n$が偶数のとき，$b_n+d_n+f_n$を求めよ．
(4) すべての時刻$n$に対して，$b_n=f_n$および$c_n=e_n$が同時に成立することを数学的帰納法を用いて示せ．
(5) $m$を$1$以上の整数とするとき，$d_{2m}$を$m$を用いて表せ．また，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}d_{2m}$を求めよ．