北里大学
2013年 薬学部 第3問
3
![1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて,辺OAを1:2に内分する点をD,辺BCを1:2に内分する点をE,辺ABを3:1に内分する点をFとし,三角形ABCの重心をGとする.また,辺AOの点Oを越える延長上に3ベクトルAO=ベクトルAHとなるように点Hをとり,直線HFと平面DEGの交点をLとする.ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおく.(1)ベクトルDEとベクトルDGの内積は[コ]である.(2)ベクトルHFをベクトルa,ベクトルbを用いて表すと,ベクトルHF=[サ]ベクトルa+[シ]ベクトルbと表される.(3)ベクトルLFをベクトルa,ベクトルbを用いて表すと,ベクトルLF=[ス]ベクトルa+[セ]ベクトルbと表される.](./thumb/198/2282/2013_3.png)
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$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において,辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$,辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{F}$とし,三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする.また,辺$\mathrm{AO}$の点$\mathrm{O}$を越える延長上に$3 \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\overrightarrow{\mathrm{AH}}$となるように点$\mathrm{H}$をとり,直線$\mathrm{HF}$と平面$\mathrm{DEG}$の交点を$\mathrm{L}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DG}}$の内積は$\fbox{コ}$である.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{HF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと,$\overrightarrow{\mathrm{HF}}=\fbox{サ} \overrightarrow{a}+\fbox{シ} \overrightarrow{b}$と表される.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{LF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと,$\overrightarrow{\mathrm{LF}}=\fbox{ス} \overrightarrow{a}+\fbox{セ} \overrightarrow{b}$と表される.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DG}}$の内積は$\fbox{コ}$である.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{HF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと,$\overrightarrow{\mathrm{HF}}=\fbox{サ} \overrightarrow{a}+\fbox{シ} \overrightarrow{b}$と表される.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{LF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表すと,$\overrightarrow{\mathrm{LF}}=\fbox{ス} \overrightarrow{a}+\fbox{セ} \overrightarrow{b}$と表される.
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