座標平面上に$\mathrm{A}(p,\ q)$，$\mathrm{B}(-q,\ p)$，$\mathrm{C}(-p,\ -q)$，$\mathrm{D}(q,\ -p)$を頂点とする正方形がある．ただし，$p>0,\ q>0,\ p^2+q^2=1$とする．また，直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AD}$が直線$x+y=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{E}(r,\ s)$，$\mathrm{F}(t,\ u)$とする．次の問いに答えよ．
(1) 直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AD}$の方程式を$p,\ q$を用いて表せ．
(2) $r,\ s,\ t,\ u$を$p,\ q$を用いて表せ．
(3) $k= p+ q$とおくとき，$pq$を$k$の式で表せ．また，$k \leqq \sqrt{2}$を示せ．
(4) $st- ru$を$k$の式で表せ．また，$st -ru$の最小値を求めよ． \imgc{355_1273_2011_2}