富山県立大学
2014年 工学部 第1問
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$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を頂点とする正四面体$\mathrm{OABC}$がある.辺$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$,$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$の中点を,それぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として,次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$,$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$,$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が垂直であることを示せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$のなす角$\theta \ \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$,$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$,$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が垂直であることを示せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$のなす角$\theta \ \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$を求めよ.
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