静岡大学
2015年 理(物・化)・工・情報 第4問
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$i$を虚数単位,$r$を$1$より大きい実数とし,$\displaystyle w=r \left( \cos \frac{\pi}{24}+i \sin \frac{\pi}{24} \right)$とおく.また,数列$\{z_n\}$を次の式で定める.
\[ z_1=w,\quad z_{n+1}=z_nw^{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき,次の問いに答えよ.
(1) $z_2$を$r$を用いて表せ.
(2) $z_n$の偏角の$1$つを$n$を用いて表せ.
(3) 複素数平面で原点を$\mathrm{O}$,$z_n$で表される点を$\mathrm{P}_n$とする.$7 \leqq n \leqq 48$のとき,$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$が$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\frac{\pi}{3}$を満たす直角三角形となるような$n$と$r$をそれぞれ求めよ.また,そのときの$z_n$の偏角$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲で求めよ.
(1) $z_2$を$r$を用いて表せ.
(2) $z_n$の偏角の$1$つを$n$を用いて表せ.
(3) 複素数平面で原点を$\mathrm{O}$,$z_n$で表される点を$\mathrm{P}_n$とする.$7 \leqq n \leqq 48$のとき,$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$が$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\frac{\pi}{3}$を満たす直角三角形となるような$n$と$r$をそれぞれ求めよ.また,そのときの$z_n$の偏角$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲で求めよ.
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コメント(1件)
2015-10-02 05:51:00
解答よろしくお願いします。 |
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