福井大学
2012年 工学部 第1問
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![nを自然数とするとき,以下の問いに答えよ.(1)二項定理を用いて,Σ_{k=0}^n\comb{n}{k}=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}+・・・+\comb{n}{n-1}+\comb{n}{n}の値が2^nに等しいことを示せ.(2)複素数zがz^2-2z+2=0をみたすとき,zおよびz^{4n}の値を求めよ.(3)Σ_{k=0}^{2n}(-1)^k・\comb{4n}{2k}=\comb{4n}{0}-\comb{4n}{2}+・・・-\comb{4n}{4n-2}+\comb{4n}{4n}の値が(-4)^nに等しいことを示せ.](./thumb/366/2547/2012_1.png)
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$n$を自然数とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) 二項定理を用いて,$\displaystyle \sum_{k=0}^n \comb{n}{k}=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}+\cdots +\comb{n}{n-1}+\comb{n}{n}$の値が$2^n$に等しいことを示せ.
(2) 複素数$z$が$z^2-2z+2=0$をみたすとき,$z$および$z^{4n}$の値を求めよ.
(3) $\displaystyle \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k \cdot \comb{4n}{2k}=\comb{4n}{0}-\comb{4n}{2}+\cdots -\comb{4n}{4n-2}+\comb{4n}{4n}$の値が$(-4)^n$に等しいことを示せ.
(1) 二項定理を用いて,$\displaystyle \sum_{k=0}^n \comb{n}{k}=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}+\cdots +\comb{n}{n-1}+\comb{n}{n}$の値が$2^n$に等しいことを示せ.
(2) 複素数$z$が$z^2-2z+2=0$をみたすとき,$z$および$z^{4n}$の値を求めよ.
(3) $\displaystyle \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k \cdot \comb{4n}{2k}=\comb{4n}{0}-\comb{4n}{2}+\cdots -\comb{4n}{4n-2}+\comb{4n}{4n}$の値が$(-4)^n$に等しいことを示せ.
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