同志社大学
2014年 理系全学部日程 第4問
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曲線$\displaystyle C_1:y=1-\frac{1}{2}x^2$上を動く点$\mathrm{P}$の座標を$(x_0,\ y_0)$とする.点$\mathrm{P}$における曲線$C_1$の法線上にあり,点$\mathrm{P}$からの距離が$1$の点で$\displaystyle y>1-\frac{1}{2}x^2$を満たす点を$\mathrm{Q}(x_1,\ y_1)$とする.また,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を通る直線が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta \ \ (0<\theta<\pi)$とする.次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき,$\tan \theta$を$x_0$を用いて表せ.
(2) $x_0$と$y_0$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ.
(3) $x_1$と$y_1$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ.また,$y_1=0$となるときの$\theta$の値を求めよ.
(4) 曲線$C_1$上を点$\mathrm{P}$が動くとき,点$\mathrm{Q}$が描く曲線を$C_2$とする.曲線$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積$S$を求めよ.
(1) $\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき,$\tan \theta$を$x_0$を用いて表せ.
(2) $x_0$と$y_0$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ.
(3) $x_1$と$y_1$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ.また,$y_1=0$となるときの$\theta$の値を求めよ.
(4) 曲線$C_1$上を点$\mathrm{P}$が動くとき,点$\mathrm{Q}$が描く曲線を$C_2$とする.曲線$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積$S$を求めよ.
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