大阪大学
2014年 理系 第4問
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半径$1$の$2$つの球$S_1$と$S_2$が$1$点で接している.互いに重なる部分のない等しい半径を持つ$n$個($n \geqq 3$)の球$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$があり,次の条件(ア),(イ)を満たす.
[(ア)] $T_i$は$S_1$,$S_2$にそれぞれ$1$点で接している($i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$). [(イ)] $T_i$は$T_{i+1}$に$1$点で接しており($i=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$),そして$T_n$は$T_1$に$1$点で接している.
このとき,以下の問いに答えよ.
(1) $T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の共通の半径$r_n$を求めよ.
(2) $S_1$と$S_2$の中心を結ぶ直線のまわりに$T_1$を回転してできる回転体の体積を$V_n$とし,$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の体積の和を$W_n$とするとき,極限 \[ \lim_{n \to \infty} \frac{W_n}{V_n} \] を求めよ.
[(ア)] $T_i$は$S_1$,$S_2$にそれぞれ$1$点で接している($i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$). [(イ)] $T_i$は$T_{i+1}$に$1$点で接しており($i=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$),そして$T_n$は$T_1$に$1$点で接している.
このとき,以下の問いに答えよ.
(1) $T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の共通の半径$r_n$を求めよ.
(2) $S_1$と$S_2$の中心を結ぶ直線のまわりに$T_1$を回転してできる回転体の体積を$V_n$とし,$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の体積の和を$W_n$とするとき,極限 \[ \lim_{n \to \infty} \frac{W_n}{V_n} \] を求めよ.
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