東京薬科大学
2015年 薬学部(B前期) 第2問
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![次の問に答えよ.ただし,*については+,-の1つが入る.(1)座標平面上に(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)を頂点とする正方形Aと,その内部を通過する放物線C_1:y=x^2,C_2:y=x^2+a,C_3:y=bx^2がある.(i)C_1上の点(x,y)と頂点(0,1)との距離が最小になるのはx=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]}のときであり,その最小値は\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}である.(ii)C_2がAの面積を2等分するとき,a=1-(\frac{[チ]}{[ツ]})^{2/3}である.(iii)C_3がAの面積を2等分するとき,b=\frac{[テト]}{[ナ]}である.(2)pを負でない実数とする.2次方程式x^2-(p^2+3)x+1+2p=0の異なる2つの解をtanα,tanβ(0<α<π/2,0<β<π/2)とする.p=0のとき,α+β=\frac{[ニ]}{[ヌ]}πであり,p>0のとき,tan(α+β)のとり得る値の最大値は[*ネ]\sqrt{[ノ]}であるから,α+βの最大値は\frac{[ハ]}{[ヒ]}πである.](./thumb/268/2266/2015_2.png)
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次の問に答えよ.ただし,$\ast$については$+,\ -$の$1$つが入る.
(1) 座標平面上に$(0,\ 0)$,$(1,\ 0)$,$(1,\ 1)$,$(0,\ 1)$を頂点とする正方形$\mathrm{A}$と,その内部を通過する放物線$C_1:y=x^2$,$C_2:y=x^2+a$,$C_3:y=bx^2$がある.
(ⅰ) $C_1$上の点$(x,\ y)$と頂点$(0,\ 1)$との距離が最小になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{\fbox{ス}}}{\fbox{セ}}$のときであり,その最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ソ}}}{\fbox{タ}}$である.
(ⅱ) $C_2$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき,$\displaystyle a=1-\left( \displaystyle\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}} \right)^{\frac{2}{3}}$である.
(ⅲ) $C_3$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき,$\displaystyle b=\frac{\fbox{テト}}{\fbox{ナ}}$である.
(2) $p$を負でない実数とする.$2$次方程式 \[ x^2-(p^2+3)x+1+2p=0 \] の異なる$2$つの解を$\displaystyle \tan \alpha,\ \tan \beta \ \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする.$p=0$のとき,$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}} \pi$であり,
$p>0$のとき,$\tan (\alpha+\beta)$のとり得る値の最大値は$\fbox{$\ast$ネ} \sqrt{\fbox{ノ}}$であるから,$\alpha+\beta$の最大値は$\displaystyle \frac{\fbox{ハ}}{\fbox{ヒ}} \pi$である.
(1) 座標平面上に$(0,\ 0)$,$(1,\ 0)$,$(1,\ 1)$,$(0,\ 1)$を頂点とする正方形$\mathrm{A}$と,その内部を通過する放物線$C_1:y=x^2$,$C_2:y=x^2+a$,$C_3:y=bx^2$がある.
(ⅰ) $C_1$上の点$(x,\ y)$と頂点$(0,\ 1)$との距離が最小になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{\fbox{ス}}}{\fbox{セ}}$のときであり,その最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ソ}}}{\fbox{タ}}$である.
(ⅱ) $C_2$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき,$\displaystyle a=1-\left( \displaystyle\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}} \right)^{\frac{2}{3}}$である.
(ⅲ) $C_3$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき,$\displaystyle b=\frac{\fbox{テト}}{\fbox{ナ}}$である.
(2) $p$を負でない実数とする.$2$次方程式 \[ x^2-(p^2+3)x+1+2p=0 \] の異なる$2$つの解を$\displaystyle \tan \alpha,\ \tan \beta \ \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする.$p=0$のとき,$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}} \pi$であり,
$p>0$のとき,$\tan (\alpha+\beta)$のとり得る値の最大値は$\fbox{$\ast$ネ} \sqrt{\fbox{ノ}}$であるから,$\alpha+\beta$の最大値は$\displaystyle \frac{\fbox{ハ}}{\fbox{ヒ}} \pi$である.
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