大阪大学
2011年 理系 第5問
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正数$r$に対して，$a_1=0,\ a_2=r$とおき，数列$\{a_n\}$を次の漸化式で定める．
\[ a_{n+1}=a_n+r_n(a_n-a_{n-1}) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
ただし$a_n$と$a_{n-1}$から漸化式を用いて$a_{n+1}$を決める際には硬貨を投げ，表がでたとき$\displaystyle r_n=\frac{r}{2}$，裏がでたとき$\displaystyle r_n=\frac{1}{2r}$とする．ここで表がでる確率と裏がでる確率は等しいとする．$a_n$の期待値を$p_n$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1) $p_3$および$p_4$を，$r$を用いて表せ．
(2) $n \geqq 3$のときに$p_n$を，$n$と$r$を用いて表せ．
(3) 数列$\{p_n\}$が収束するような正数$r$の範囲を求めよ．
(4) $r$が(3)で求めた範囲を動くとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$の最小値を求めよ．
(1) $p_3$および$p_4$を，$r$を用いて表せ．
(2) $n \geqq 3$のときに$p_n$を，$n$と$r$を用いて表せ．
(3) 数列$\{p_n\}$が収束するような正数$r$の範囲を求めよ．
(4) $r$が(3)で求めた範囲を動くとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$の最小値を求めよ．
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