大阪大学
2011年 理系 第4問
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![a,b,cを正の定数とし，xの関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cを考える．以下，定数は全て実数とする．(1)定数p,qに対し，次をみたす定数rが存在することを示せ．x≧1 ならば |px+q|≦rx(2)恒等式(α-β)(α^2+αβ+β^2)=α^3-β^3を用いて，次をみたす定数k,lが存在することを示せ．x≧1 ならば |\sqrt[3]{f(x)}-x-k|≦l/x(3)すべての自然数nに対して，\sqrt[3]{f(n)}が自然数であるとする．このとき関数f(x)は，自然数の定数mを用いてf(x)=(x+m)^3と表されることを示せ．](./thumb/504/1065/2011_4.png)
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$a,\ b,\ c$を正の定数とし，$x$の関数$f(x) = x^3 +ax^2 +bx+c$を考える．以下，定数は全て実数とする．
(1) 定数$p,\ q$に対し，次をみたす定数$r$が存在することを示せ． \[ x \geqq 1 \quad \text{ならば} \quad |px+q| \leqq rx \]
(2) 恒等式$(\alpha-\beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)=\alpha^3-\beta^3$を用いて，次をみたす定数$k,\ l$が存在することを示せ． \[ x \geqq 1 \quad \text{ならば} \quad \left|\sqrt[3]{f(x)}-x-k \right| \leqq \frac{l}{x} \]
(3) すべての自然数$n$に対して，$\sqrt[3]{f(n)}$が自然数であるとする．このとき関数$f(x)$は，自然数の定数$m$を用いて$f(x)=(x+m)^3$と表されることを示せ．
(1) 定数$p,\ q$に対し，次をみたす定数$r$が存在することを示せ． \[ x \geqq 1 \quad \text{ならば} \quad |px+q| \leqq rx \]
(2) 恒等式$(\alpha-\beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)=\alpha^3-\beta^3$を用いて，次をみたす定数$k,\ l$が存在することを示せ． \[ x \geqq 1 \quad \text{ならば} \quad \left|\sqrt[3]{f(x)}-x-k \right| \leqq \frac{l}{x} \]
(3) すべての自然数$n$に対して，$\sqrt[3]{f(n)}$が自然数であるとする．このとき関数$f(x)$は，自然数の定数$m$を用いて$f(x)=(x+m)^3$と表されることを示せ．
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