大阪大学
2011年 理系 第1問
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$a$を自然数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -1 \\
1 & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換を$f$とする．
(1) $r>0$および$0 \leqq \theta < 2\pi$を用いて$A=\left( \begin{array}{cc} r \cos \theta & -r \sin \theta \\ r \sin \theta & r \cos \theta \end{array} \right)$と表すとき，$r,\ \cos \theta,\ \sin \theta$を$a$で表せ．
(2) 点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$に対し，点$\mathrm{Q}_n \ \ (n = 1,\ 2,\ 3)$を \[ \mathrm{Q}_1 = \mathrm{Q},\quad \mathrm{Q}_{n+1} = f(\mathrm{Q}_n) \] で定める．$\triangle \mathrm{OQ}_n \mathrm{Q}_{n+1}$の面積$S(n)$を$a$と$n$を用いて表せ．
(3) $f$によって点$(2,\ 7)$に移されるもとの点$\mathrm{P}$の$x$座標の小数第一位を四捨五入して得られる近似値が$2$であるという．自然数$a$の値を求めよ．またこのとき$S(n)>{10}^{10}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし$0.3 < \log_{10}2 < 0.31$を用いてよい．
(1) $r>0$および$0 \leqq \theta < 2\pi$を用いて$A=\left( \begin{array}{cc} r \cos \theta & -r \sin \theta \\ r \sin \theta & r \cos \theta \end{array} \right)$と表すとき，$r,\ \cos \theta,\ \sin \theta$を$a$で表せ．
(2) 点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$に対し，点$\mathrm{Q}_n \ \ (n = 1,\ 2,\ 3)$を \[ \mathrm{Q}_1 = \mathrm{Q},\quad \mathrm{Q}_{n+1} = f(\mathrm{Q}_n) \] で定める．$\triangle \mathrm{OQ}_n \mathrm{Q}_{n+1}$の面積$S(n)$を$a$と$n$を用いて表せ．
(3) $f$によって点$(2,\ 7)$に移されるもとの点$\mathrm{P}$の$x$座標の小数第一位を四捨五入して得られる近似値が$2$であるという．自然数$a$の値を求めよ．またこのとき$S(n)>{10}^{10}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし$0.3 < \log_{10}2 < 0.31$を用いてよい．
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