聖マリアンナ医科大学
2015年 医学部 第4問
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以下の問いに答えなさい.
(1) 次の定積分を求めなさい.ただし,$a$は正の定数とする. \[ 1) \quad \int_0^a te^{-t} \, dt \qquad\qquad 2) \quad \int_0^a t^2 e^{-t} \, dt \]
(2) 以下の空欄$\fbox{$1$}$~$\fbox{$5$}$に適切な値を答えなさい.
$x \geqq 0$で定義された関数$f(x)=(\sqrt{x}-1)e^{-\sqrt{x}}$に対して,$y=f(x)$の表す曲線を$C$とおく.$C$は$x=\fbox{$1$}$で極大値$\fbox{$2$}$をとる.$C$上の点$(t,\ f(t))$での接線が原点を通るのは$t=\fbox{$3$}$のときである.このときの接線を$\ell$とおくと,$\ell$の傾きは$\fbox{$4$}$となる.また,$C$,$\ell$と$y$軸で囲まれた部分の面積は$\fbox{$5$}$である.
(1) 次の定積分を求めなさい.ただし,$a$は正の定数とする. \[ 1) \quad \int_0^a te^{-t} \, dt \qquad\qquad 2) \quad \int_0^a t^2 e^{-t} \, dt \]
(2) 以下の空欄$\fbox{$1$}$~$\fbox{$5$}$に適切な値を答えなさい.
$x \geqq 0$で定義された関数$f(x)=(\sqrt{x}-1)e^{-\sqrt{x}}$に対して,$y=f(x)$の表す曲線を$C$とおく.$C$は$x=\fbox{$1$}$で極大値$\fbox{$2$}$をとる.$C$上の点$(t,\ f(t))$での接線が原点を通るのは$t=\fbox{$3$}$のときである.このときの接線を$\ell$とおくと,$\ell$の傾きは$\fbox{$4$}$となる.また,$C$,$\ell$と$y$軸で囲まれた部分の面積は$\fbox{$5$}$である.
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